Nåverdi, neddiskonterer og effektiv rente

Hva er nåverdi?

Nåverdi refererer til det faktum at en krone idag er mer verdt enn en krone en gang i fremtiden. Denne kronen kan i dag investeres til en årlig avkastning lik r.

Anta at vi setter 1 kr i banken til 5 % rente p.a. (som står for «pro anno» og betyr per år). Da er r = 5/100 = 0,05. Etter ett år har beløpet vokst til 1+r, og vi kan ta ut:

1+r = 1+0,05 = 1,05 kr (1 kr pluss 5 % rente)

Med renten r = 0,05 er altså 1 krone i dag like mye verdt som 1+r = 1,05 kr om ett år. Dersom vi lar beløpet stå i banken ett år til, kan vi etter to år ta ut:

(1+r)(1+r) = (1+r) ² = 1,052 = 1,1025 kr

Her får vi 5 % rente hvert år. I år 2 får vi også renter på de rentene vi fikk i år 1. Vi får altså renter og rentes rente. Etter tre år kan vi med renter og rentes rente ta ut: 

(1+r)(1+r)(1+r) = (1+r) ³ = 1,053 = 1,1576 kr

Etter n år kan vi ta ut:

(1+r)(1+r)(1+r) … (1+r) = (1+r) ⁿ

Når et beløp PV (present value) vokser med en avkastning lik r pr. år, vil beløpet etter n år ha vokst til sluttverdien FV (future value):

FV = PV (1 + r ) ⁿ

PV kalles nåverdien og er dagens verdi av FV. Hvis vi skriver om ligningen over, får vi et uttrykk for nåverdien:

Dersom 500 kr står i banken til 5 % rente i 8 år, blir sluttverdien: FV = 500(1+0,05)⁸ = 738,73 kr Nåverdien av å motta 738,73 kr om 8 år dersom renten er 5 % p.a., blir naturligvis:

Neddiskonterer og diskonteringsfaktor

Når vi dividerer et beløp med (1+r) ⁿ og beregner en nåverdi, sier vi at vi neddiskonterer beløpet. Størrelsen 1/(1+r) ⁿ kalles derfor en diskonteringsfaktor. La oss se på noen regneeksempler.

1. Dersom du setter 25 000 kr i banken til 3,5 % rente p.a., kan du etter 7 år ta ut:

2. Du forventer å motta 800 000 kr om 5 år. Dersom renten er konstant og lik 3,75 % p.a. i disse årene, er nåverdien (beløpet i dagens kroneverdi) av dette:

3. Anta at du setter 250 kr i banken og tar ut 300 kr etter 5 år. Hvilken rente gir dette per år?

Denne oppgaven kan også løses ved hjelp av rentetabell.

4. Du setter pengene dine i banken til 8 % rente p.a. Hvor lenge må pengene stå for å vokse til det dobbelte? Vi velger et eller annet beløp, f.eks. 1 krone

Denne oppgaven kan også løses ved hjelp av rentetabell.

Dersom vi mottar flere beløp i slutten av hvert år fremover i tid, dvs. C₁ i slutten av år 1, C₂ i slutten av år 2, osv., blir den totale nåverdien summen av nåverdiene:

Anta at du kan inngå en avtale der du vil motta 200 kr om 1 år, 350 kr om 2 år og 175 kr om 3 år. Hvor mye er du villig til å betale for denne avtalen hvis renten er 3,0 % i årene fremover?

Nåverdien og dermed dagens verdi av avtalen, er 684 kr. Dette er den maksimale prisen for avtalen. Nåverdien av flere fremtidige beløp kan også beregnes med funksjonen NNV i Excel eller med en finanskalkulator.

Effektiv rente

Det kan også være aktuelt å beregne rente flere ganger per år. For private lån betales rentene ofte kvartalsvis eller månedsvis.

Anta at en bank låner ut penger til en nominell rente lik r per år, og at renter på lånet beregnes etterskuddsvis 4 ganger i året (hvert kvartal). Da blir renten beregnet med r/4 for hvert kvartal. Hvis du ikke betaler renter eller avdrag, vokser i dette tilfellet et lån på kr 1, med renter og rentes rente i løpet av ett år til:

Når dette uttrykket settes lik tilsvarende uttrykk for effektiv rente for ett år, får vi:

Den effektive renten blir den samme om du betaler rentene eller de legges til lånet. Det som har betydning for den effektive renten, er at rentene blastes tidligere og oftere enn om den beregnes etterskuddsvis en gang i året. Hvis nominell rente p.a. er lik r og rentene avregnes m ganger pr. år, blir effektiv rente p.a.:

Dersom nominell rente for et lån er 6 % p.a. og rentene avregnes kvartalsvis, blir effektiv rente p.a.:

Med en nominell rente på 6 % p.a. og månedsvis avregning av renter, blir effektiv rente p.a.:

Effektiv rente per år øker altså når antall avregninger per år øker.

For spesielt interesserte nevner vi at effektiv rente p.a. går mot en endelig verdi når antall perioder per år går mot uendelig. (Dette er en realistisk antagelse når vi beregner avkastning på aksjer siden de kjøpes og selges kontinuerlig gjennom året.) Vi finner et uttrykk for denne verdien fra følgende grenseverdi der m (antall perioder per år) går mot uendelig:

Ved å sette inn x = m/r og dermed m = x r, får vi følgende uttrykk. (Siden m går mot uendelig, vil også x gjøre det ):

Grenseverdien i klammeparentesen er lik Eulers tall e (2,71828). Effektiv rente for et år blir dermed:

Hvis den nominelle renten er 6 % p.a. og antall perioder (avregninger) går mot uendelig, blir effektiv rente p.a.:

Renter ved såkalt kontinuerlig avregning (dvs. når antall perioder går mot uendelig) kan være relevant når man skal beregne avkastning på aksjer og andre verdipapir som kjøpes og selges kontinuerlig.

Nåverdien av faste kontantstrømmer

Nåverdien av å motta en rekke faste beløp C i år 1, 2, …, n, blir summen av flere nåverdier. Denne summen kan skrives med følgende uttrykk:

Størrelsen:

er nåverdien av å motta 1 kr i slutten av hvert år i n år ved renten r. Denne kalles også nåverdien av en etterskuddsannuitet på 1 kr.

Dersom antall år går mot uendelig, får vi nåverdien av å motta et fast beløp C i slutten av hvert år i all evighet. Dette kalles nåverdien av en uendelig etterskuddsannuitet og beregnes med en enkel formel:

Anta at du kommer til å motta 500 kr i slutten av hvert år de neste 20 årene. Dersom renten blir 7 % i årene fremover, er nåverdien av dette:

I Excel kan en slik nåverdi beregnes med funksjonen NÅVERDI. Et annet alternativ er å benytte en kalkulator med finansfunksjoner.

Dersom vi endrer eksempelet over og beregner nåverdien av å motta 500 kr i all evighet med 7 % rente, får vi:

Annuitetslån

Et annuitetslån nedbetales med konstante terminbeløp som dekker renter og avdrag. Banken skal ha pengene (lånet) tilbake pluss renter. Derfor må nåverdien av terminbeløpene være lik lånet. Hvis du betaler 38 851,37 kr i renter og avdrag hvert år i 10 år på et annuitetslån med 5 % rente per år, blir nåverdien av terminbeløpene:

Fra dette ser vi at terminbeløpet (renter og avdrag) for et annuitetslån på 300 000 kr som skal betales tilbake over 10 år med 5 % rente per år, kan beregnes som:

Siden terminbeløpet for et annuitetslån på 300 000 kr er , må terminbeløpet for et annuitetslån på 1 kr til rente r over n år, være:

Verdien kalles en annuitetsfaktor.

Anta at du tar opp et annuitetslån på 500 000 kr over 6 år til 7 % rente p.a. Renter og avdrag skal betales etterskuddsvis en gang hvert år. Det årlige terminbeløpet som dekker renter og avdrag blir:

Dette terminbeløpet kan også beregnes direkte med funksjonen AVDRAG i Excel. Navnet på denne funksjonen er altså litt misvisende, siden den beregner summen av renter og avdrag for et annuitetslån.

Tabellen over inneholder en nedbetalingsplan for lånet. I kolonnen merket «Lån per 01.01» finner vi lånet ved starten av det enkelte år og i kolonnen merket «Lån per 31.12», lånet ved slutten av året. For år 1 er renter beregnet som 500 000 · 0,07 = 35 000, avdrag som 104 898–35 000 = 69 898 og Lån UB som 500 000–69 898 = 430 102. Lån per 01.01. for år 2 er lik Lån per 31.12. for år 1. På denne måten kan man fylle ut hele nedbetalingplanen.