Utfall og utfallsrom

Stokastisk forsøk

Et forsøk sies å være et stokastisk forsøk dersom:

1. Forsøket kan gjentas under (tilnærmet) samme betingelser så mange ganger en ønsker.
2. En ikke kan forutsi utfallet av et enkeltforsøk
3. Det er mulig å angi en mengde enkeltresultater slik at hvert forsøk gir som resultat ett og bare ett av enkeltresultatene i denne mengden

Utfallsrom

Resultatet av et stokastisk forsøk kan ikke forutsies entydig, men det kan angi en mengde mulige enkeltutfall. Denne mengden av mulige enkeltutfall kalles utfallsrom. Det statistiske symbolet for utfallsrom er Ω.

Utfallsrom = Antall mulige enkeltutfall

Et utfallsrom er med andre ord mengden av enkeltresultater som vi beskriver i punkt 3 i listen over.

Utfallsrommet er ikke entydig gitt i enhver situasjon, men ofte vil et bestemt utfallsrom være mest hensiktsmessig å bruke. 

Enkeltutfall

Elementene (resultatene) i utfallsrommet Ω kalles enkeltutfall og betegnes ofte med e_i.

Ω = {e1 , e2…,ei…}

Hendelse

En delmengde av et utfallsrom kaller vi en hendelse. En hendelse består av ett eller flere enkeltutfall. Hendelsene betegnes ofte A, B, C osv.

Diskrete og kontinuerlig utfall

Diskrete utfall er utfall hvor enkeltutfallene er punkter på en tallinje. Vi snakker om tellbare antall verdier (kan være uendelig antall, men det må være mulig å nummerere dem).

Kontinuerlig utfall er utfall hvor resultatene utgjør uendelig mange verdier på tallinjen. Hendelsene utgjør da intervaller på tallinjen. Vi snakker her om et ikke-tellbart antall som kan ha alle verdier på “glatt” variabel.

Stokastiske variabler

Stokastisk variabel er:

EN STØRRELSE SOM VARIERER TILFELDIG INNENFOR UTFALLSROMMET.

En tilfeldig (stokastisk) variabel er en målbar funksjon på Ω. To viktige områder innen sannsynlighetsteorien er stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger.

Ved betinget sannsynlighet ser man på sannsynligheten for at noe skal skje, når en har kunnskaper som påvirker for denne sannsynligheten. Et eksempel er sannsynligheten for å trekke en hjerter fra en vanlig kortstokk, når en allerede har trukket tre hjertere fra kortstokken.

Stokastiske variabler angis oftest med store bokstaver.

Begivenhet

Som vi husker er utfallsrommet for et kast med terning er: Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }= 6 mulige enkeltutfall i utfallsrommet Ω.

La oss nå se på delmengden A hvor utfallet er kun odde antall øyne i terningen:

A = { 1 , 3 , 5 } = 3 enkeltutfall i begivenheten A

A er en delmengden av utfallsrommet Ω og kalles en begivenhet.

BEGIVENHET = DELMENGDE AV UTFALLSROMMET

Sannsynligheten P(A) for en begivenhet A = summen av alle enkeltutfall som inngår i A.

Gunstige- og antall mulige utfall

For å kunne beregne sannsynligheten av noe må vi vite hvor mange mulige utfall av fenomen som eksisterer. La oss ta noen praktiske eksempler på antall mulige utfall.

Hvor mange utfall kan et terningkast ha?
En terning har seks flater med øyner fra en til seks, det betyr at utfallet vil være blant disse. Vi kaller alle mulige utfall for utfallsrommet. Et enkelt utfall vil være et element i utfallsrommet:

Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } = 6

Hvor mange utfall har et kast med mynt?
Siden en mynt kun har to sider (enkeltelementer); krone og mynt, er antall mulige utfall 2.

Ω = { krone , mynt } = 2

Hvor mange ganger må du kaste en terning før du får terningkastet 6?
Siden du kan få en sekser i 1, 48 eller 1000-ende kast, snakker vi om et uendelig antall enkeltutfall

Ω = {1,2,… } = Uendelig antall enkeltutfall.

En forutsetning for å kunne beregne riktig sannsynlighet av et utfall eller fenomen, er det en forutsetning at man opererer med riktig antall “gunstige utfall” og “antall mulige utfall“. Erfaring viser at det ofte kan være vanskelig å finne det rette antallet, og det finnes flere feller man kan gå i.

Under finnes to eksempler på logiske feller vi kan gå i når vi skal beregne antall mulige utfall.

Eksempel 1

La oss si at du ønsker å finne ut sannsynligheten for at en to barnsfamilie skal ha to gutter ved hjelp av foremelen under:

Rent umiddelbart vil de fleste si at det finnes tre mulige utfall: Enten har familien ingen barn, eller så har de 1 eller 2 barn.

Antall mulige utfall = (0, 1, 2) = 3

Antall gunstige = = 1

Ut i fra dette resonemanget vil man komme fram til at sannsynligheten for at en to barnsfamilie skal ha to gutter er:

Dette er feil. Antall mulige utfall er ikke 3, men 4. Dette ser vi klart hvis vi ordner antall mulige utfall i stigende rekkefølge. Dvs. etter barnas alder. Som det går frem av tabellen under får vi da fire mulige utfall:

Mulig utfall nr. 1 =Gutt + Gutt

Mulig utfall nr. 2 =Pike + Pike

Mulig utfall nr. 3 =Gutt + Pike

Mulig utfall nr. 4 =Pike + Gutt

Eksempel 2:

La oss si at vi ønsker å beregne sannsynligheten for å få en sum på 7 ved å kaste to terninger. P (X=7) ved å kaste 2 terninger en gang.

For å beregne denne sannsynligheten må vi finne hvor mange mulige utfall (mulige summer) man kan få ved å kaste to terninger. Man kan f.eks. få to “enere”, en “toer” og en “femmer” osv.

En mulighet er å sette opp en rekke over mulige summer. Ved å kaste to terninger kan vi få følgende summer:

X = 2, 3 ,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Av disse 11 mulige summene er det kun en som gir verdien “7”, og konklusjonen blir derfor at sannsynligheten for å få verdien 7 ved å kaste to terninger er:

Dette er ikke riktig svar. Det finnes mange flere mulige utfall enn 11. Også dette ser vi klart ved å ordne mulige utfall i stigende rekkefølge. Tabellen under gir en oppramsning av mulige utfall:

1+1, 1+2, 1+3, 1+4, 1+5, 1+6,

2+1, 2+2, 2+3, 2+4, 2+5, 2+6,

3+1, 3+2, 3+3, 3+4, 3+5, 3+6,

4+1, 4+2, 4+3, osv.

5+1, 5+2, osv.

6+1 osv.

X = 36

Ved å telle opp alle disse mulige utfallene ser vi at det finnes hele 36 mulige utfall, og at det ikke kun er ett av disse utfallene som er gunstige, men hele 6 gunstige utfall. Riktig sannsynlighet for å få verdien 7 er derfor: