Regneregler for sannsynlighet
Sannsynligheten for at en hendelse A skal inntreffe er summen av sannsynlighetene for enkeltutfallene som A består av.
Hvis A består av e1,e2,…er så er
Da P(S) =1 får vi at 0≤ P(A)≤1.
Uniform sannsynlighet
En uniform sannsynlighetsmodell er en modell hvor alle mulige utfall er like sannsynlige. Når sannsynligheten er den samme for alle elementer i utfallsrommet sier vi med andre ord at sannsynligheten er uniform – uniform sannsynlighet.
Når vi har en uniform sannsynlighetsmodell er sannsynligheten for en hendelse A gitt ved:
Gjennomsnitt
Sannsynligheten av et gjennomsnitt er:
Her ganger vi sannsynligheten for enkelthendelsene for å finne sannsynligheten av gjennomsnittet.
Addisjonssetningen
Den generelle addisjonssetningen er gitt som:
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Eksempel
Vi kaster en terning en gang. Hendelsen øyner mindre eller lik to kaller vi A, A={1,2}. Hendelsen partall kaller vi B, B = {2,4,6}
I et venndiagram ser det slik ut:
Sannsynligheten for A blir P(A) = 2/6 = 1/3
Sannsynligheten for B blir P (B) = 3/6 = ½
Sannsynligheten for A ∩ B blir P(A ∩ B) = 1/6, fordi mengden inneholder ett av utfallsrommets seks elementer.
Hva er sannsynligheten for A U B?
Vi bruker addisjonssetningen og får: P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 1/3 + ½ – 1/6 =4/6 = 2/3
Vi ser, både av venndiagrammet og av addisjonssetningen hvorfor vi må trekke fra
P(A ∩ B). Dersom vi ikke hadde gjort det hadde vi regnet med elementet 2 en gang for mye.
Addisjonssetningen for disjunkte hendelser
Disjunkte hendelser mangler noen felles elementer. Derfor blir addisjonssetningen for disjunkte hendelser:
P(A∪B)=P(A)+P(B)
Betinget sannsynlighet
Med betinget sannsynlighet menes sannsynligheten for en hendelse når man har opplysninger om at en annen hendelse allerede har inntruffet.
Sannsynligheten for hendelse A gitt at hendelse B har inntruffet skrives:
P(A|B)
Vi leser: “sannsynlighet for a gitt b”. Vi har P(A∩B) = P(B) ∙ P(A|B)
Produktsetningen
Dersom hendelsene A og B skal inntreffe må først A inntreffe så må B inntreffe. Dersom sannsynligligheten for B er avhengig av om A inntreffer eller ikke, blir sannsynligheten for at A og B inntreffer:
P(A∩B)=P(A)⋅P(B|A)
Uavhengige hendelser
To hendelser A og B er uavhengige dersom P(A) = P(A|B), som fører til uavhengighetskriteriet:
P(A∩B) = P(A) ∙ P(B)
Uavhengige hendelser forveksles av og til med disjunkte hendelser. For disjunkte hendelser gjelder:
P(A∩B) = 0
Produktsetningen for uavhengige hendelser
Dersom man kaster en terning to ganger vil ikke resultatet fra første kast påvirke resultatet i andre kast. Hendelsene er uavhengige. Produktsetningen for uavhengige hendelser er:
P(A∩B)=P(A)⋅P(B)
Kilde:
- http://matematikk.net/side/Sannsynlighet
